域名侵犯商标权的刑事责任是指未经注册商标所有人许可，在同一种商品上使用与其注册商标相同的商标的行为。根据《中华人民共和国商标法》第五十七条的规定，这样的行为将受到刑事处罚，情节严重的可处三年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；情节特别严重的可处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。具体包括：未经许可在同一种商品上使用与注册商标相同的商标；未经许可在同一种商品上使用与注册商标近似的商标，或在类似商品上使用与注册商标相同或近似的商标，容易导致混淆的；销售侵犯注册商标专用权的商品；伪造、擅自制造他人注册商标标识或销售伪造、擅自制造的注册商标标识等行为。